ＭＹマイコンを作る（９）　
　　　　オーバーフローを考える

　ＭＹマイコンであるComet2eにあるフラグレジスタ（Flag Register：FR）のオーバーフローフラグ（Overflow Flag：OF）について考えます。

　フラグレジスタ（Flag Register：FR）は、OF（Overflow Flag），SF（Sign Flag），ZF（Zero Flag）と呼ぶ3 個のビットからなり，演算命令などの実行によって次の値が設定されます。

• OF（Overflow Flag）
  算術演算命令の場合は，演算結果が−32768 〜 32767 に収まらなくなったとき1 になり，それ以外のとき0 になります。
  論理演算命令の場合は，演算結果が0 〜 65535 に収まらなくなったとき1 になり，それ以外のとき0 になります。
  シフト演算命令の場合は，シフトアウトした最後のビットが入ります。
  
• SF（Sign Flag）
  演算結果の符号が負（ビット番号15 が1）のとき1，それ以外のとき0 になります。
  
• ZF（Zero Flag）
  演算結果が零（全部のビットが0）のとき1，それ以外のとき0になります。

●SF，ZFの設定条件

　OF，SFの設定条件は、次の通りです。
　・SFは、演算結果の符号ビット（ビット番号15 ）をセットします。
　・ZFは、演算結果が零（１６ビット共 0 ）のとき1をセットします。


●オーバーフローを考える

　オーバーフローは、演算結果が表現できる範囲内に収まらなかったことを言います。
　ＭＹマイコンComet2eの数値は１６ビットなので、表現できる範囲は次になります。
　・符号付なら−32768 〜 32767
　・符号無しなら0 〜 65535

　次に、「表現できる範囲内」を見ます。１６ビットでは、桁数が多くなるので、解りやすく３ビットで見ます。

３ビットでの符号付き数値表現

３	２	１	０	−１	−２	−３	−４
０１１	０１０	００１	０００	１１１	１１０	１０１	１００

３ビットでの符号無し数値表現

７	６	５	４	３	２	１	０
１１１	１１０	１０１	１００	０１１	０１０	００１	０００

算術演算命令のオーバーフロー

算術演算 内容	オーバー フロー の発生	内容
正数＋正数	数値により 発生する	演算結果は、正の方に増加する。 この演算結果が「表現できる範囲外」になればオーバーフローが発生する。 ●３ビットの数値表現で見てみます 　・２＋１＝３を見ます、２進数表現は０１０ｂ＋００１ｂ＝０１１ｂです。 　　結果の３（０１１ｂ）は、「表現できる範囲内」なので、オーバーフローは 　　発生しません。 　・２＋２＝４の２進数表現は０１０ｂ＋０１０ｂ＝１００ｂです。 　　結果の１００ｂは、１０進表示では−４なので間違っています。 　「表現できる範囲外」なので、オーバーフローが発生します。
正数−正数	発生しない	整理すれば、正数と負数の加算になる。 演算結果の絶対値は小さくなるのでオーバーフローは発生しません。
負数−負数
負数＋負数	数値により 発生する	演算結果は、負の方に増加する。 この演算結果が「表現できる範囲外」になればオーバーフローが発生する ●３ビットの数値表現で見てみます 　・−２−１＝−３を見ます、２進数表現は１１０ｂ＋００１ｂ＝１０１ｂです。 　　結果の−３（１０１ｂ）は、「表現できる範囲内」なので、オーバーフローは 　　発生しません。 　・−３−３＝−６の２進数表現では１０１ｂ−０１１ｂ＝０１０ｂです。 　　結果の０１０ｂは、１０進表示では２なので間違っています。 　「表現できる範囲外」なので、オーバーフローが発生します。

算術演算命令の演算例

　　１　００１ｂ　　　２　０１０ｂ　　　２　０１０ｂ　　　３　０１１ｂ
　　＋　　＋　　　　　＋　　＋　　　　　＋　　＋　　　　　＋　　＋　　
　　１　００１ｂ　　　１　００１ｂ　　　２　０１０ｂ　　　３　０１１ｂ
　　↓　　↓　　　　　↓　　↓　　　　　↓　　↓　　　　　↓　　↓　　
　　２　０１０ｂ　　　３　０１１ｂ　　　４　１００ｂ　　　６　１１０ｂ
　　演算結果：○　　　演算結果：○　　　演算結果：×　　　演算結果：×

　・左端は、１＋１＝２の場合です。演算結果は、０１０ｂなので「表現できる範囲内」です。
　・左から２番目、２＋１＝３の演算結果は、０１１ｂなので「表現できる範囲内」です。
　・左から３番目、２＋２＝４の演算結果は、１００ｂになります。
　　演算結果の１００ｂは、上の「３ビットでの符号付き数値表現」を見ると「−４」です。
　　「４」が求める数値ですが、「−４」になっています、「表現できる範囲外」です。
　・右端、３＋３＝６の演算結果は、１１０ｂになり、これも「表現できる範囲外」です。
　　「３」は、表現できる正の最大数です。


　　３　０１１ｂ　　　０　０００ｂ　　−３　１０１ｂ　　−４　１００ｂ
　　−　　−　　　　　−　　−　　　　　＋　　＋　　　　　＋　　＋　　
　　１　００１ｂ　　　３　０１１ｂ　　　３　０１１ｂ　　　０　０００ｂ
　　↓　　↓　　　　　↓　　↓　　　　　↓　　↓　　　　　↓　　↓　　
　　２　０１０ｂ　　−３　１０１ｂ　　　０　０００ｂ　　−４　１００ｂ
　　演算結果：○　　　演算結果：○　　　演算結果：○　　　演算結果：○

　・左端、　３−１＝２の演算結果は、０１０ｂなので「表現できる範囲内」です。
　・左から２番目、０−３＝−３の演算結果は、１０１ｂなので「表現できる範囲内」です。
　・左から３番目、−３＋３＝０の演算結果は、０００ｂなので「表現できる範囲内」です。
　・右端、−４＋０＝−４の演算結果は、１００ｂなので「表現できる範囲内」です。


　−１　１１１ｂ　　−２　１１０ｂ　　−３　１０１ｂ　　−４　１００ｂ
　　−　　−　　　　　−　　−　　　　　−　　−　　　　　−　　−　　
　　１　００１ｂ　　　１　００１ｂ　　　３　０１１ｂ　　　３　０１１ｂ
　　↓　　↓　　　　　↓　　↓　　　　　↓　　↓　　　　　↓　　↓　　
　−２　１１０ｂ　　−３　１０１ｂ　　−６　０１０ｂ　　−７　００１ｂ
　　演算結果：○　　　演算結果：○　　　演算結果：×　　　演算結果：×

　・左端、−１−１＝−２の演算結果は、１１０ｂなので「表現できる範囲内」です。
　・左から２番目、−２−１＝−３の演算結果は、１０１ｂなので「表現できる範囲内」です。
　・左から３番目、−３−３＝−６の演算結果は、０１０ｂになります。
　　演算結果の０１０ｂは、上の「３ビットでの符号付き数値表現」を見ると「２」です。
　　「−６」が求める数値ですが、「２」になっています、「表現できる範囲外」です。
　・右端、−４−３＝−７の演算結果は、００１ｂになり、これも「表現できる範囲外」です。

　整理をすると
　・正の数値と正の数値を加算した場合、オーバーフローすると負の数値になる。
　・右端の３＋３＝６のように、表現できる正の最大数と正の最大数でも負の数値になる。
　・正の数値−正の数値、負の数値＋正数値の演算結果は、全て「表現できる範囲内」です。
　・負の数値から負の数値を減算した場合、オーバーフローすると正の数値になる。
　・右端の−４−３＝−７のように、表現できる負の最大数と正の最大数でも正の数値になる。


論理演算命令のオーバーフロー

論理演算 内容	オーバー フロー の発生	内容
正数＋正数	数値により 発生する	演算結果は、正の方に増加する。 この演算結果が「表現できる範囲外」になればオーバーフローが発生する。 ●３ビットの数値表現で見てみます 　・２＋５＝７を見ます、２進数表現は０１０ｂ＋１０１ｂ＝１１１ｂです。 　　結果の７（１１１ｂ）は、「表現できる範囲内」なので、オーバーフローは 　　発生しません。 　・２＋６＝８の２進数表現は０１０ｂ＋１１０ｂ＝０００ｂです。 　　結果の０００ｂは、１０進表示では０で間違っています。 　「表現できる範囲外」なので、オーバーフローが発生します。
正数−正数	数値により 発生する	被減数＜減数の場合、演算結果は負数になります。 論理演算では負数は「表現できる範囲外」なのでオーバーフローします。 ●３ビットの数値表現で見てみます 　・７−７＝０を見ます、２進数表現は１１１ｂ−１１１ｂ＝０００ｂです。 　　結果の０（０００ｂ）は、「表現できる範囲内」なので、オーバーフローは 　　発生しません。 　・６−７＝−１の２進数表現は１１０ｂ−１１１ｂ＝１１１ｂです。 　　結果の１１１ｂは、１０進表示では７で間違っています。 　「表現できる範囲外」なので、オーバーフローが発生します。

論理演算命令の演算例

　　１　　００１ｂ　　　２　　０１０ｂ　　　２　　０１０ｂ　　　７　　１１１ｂ
　　＋　　　＋　　　　　＋　　　＋　　　　　＋　　　＋　　　　　＋　　　＋　　
　　１　　００１ｂ　　　５　　１０１ｂ　　　６　　１１０ｂ　　　７　　１１１ｂ
　　↓　　　↓　　　　　↓　　　↓　　　　　↓　　　↓　　　　　↓　　　↓　　
　　２　００１０ｂ　　　７　０１１１ｂ　　　８　１０００ｂ　　１４　１１１０ｂ
　　　演算結果：○　　　　演算結果：○　　　　演算結果：×　　　　演算結果：×

　・左端は、１＋１＝２の場合です。演算結果は、０１０ｂなので「表現できる範囲内」です。
　・左から２番目、２＋５＝７の演算結果は、１１１ｂなので「表現できる範囲内」です。
　・左から３番目、２＋６＝８の演算結果は、０００ｂで、十進数は「０」です。
　　「８」が求める数値ですが、「０」になっています、「表現できる範囲外」です。
　　この場合、０００ｂの上にキャリーが出る事に注目してください。
　・右端、７＋７＝１４の演算結果は、１１０ｂになり、これも「表現できる範囲外」です。
　　「７」は、表現できる正の最大数です。
　　この場合、０００ｂの上にキャリーが出る事に注目してください。


　　７　　１１１ｂ　　　７　　１１１ｂ　　　６　　１１０ｂ　　　０　　０００ｂ
　　−　　　−　　　　　−　　　−　　　　　−　　　−　　　　　−　　　−　　
　　１　　００１ｂ　　　７　　１１１ｂ　　　７　　１１１ｂ　　　７　　１１１ｂ
　　↓　　　↓　　　　　↓　　　↓　　　　　↓　　　↓　　　　　↓　　　↓　　
　　６　１１１０ｂ　　　０　１０００ｂ　　−１　０１１１ｂ　　−７　０００１ｂ
　　　演算結果：○　　　　演算結果：○　　　　演算結果：×　　　　演算結果：×

　・左端は、７−１＝６の場合です。演算結果は、１１０ｂなので「表現できる範囲内」です。
　・左から２番目、７−７＝０の演算結果は、０００ｂなので「表現できる範囲内」です。
　・左から３番目、６−７＝−１の演算結果は、１１１ｂで、十進数は「７」です。
　　「−１」が求める数値ですが、「７」になっています、「表現できる範囲外」です。
　　この場合、０００ｂの上にキャリーが無い事に注目してください。
　・右端、０−７＝−７の演算結果は、００１ｂになり、これも「表現できる範囲外」です。
　　「７」は、表現できる正の最大数です。
　　この場合、００１ｂの上にキャリーが無い事に注目してください。


　整理をすると
　・正の数値と正の数値を加算した場合、「表現できる範囲外」になるとキャリーが出る。
　・右端の７＋７＝１４の様に、表現できる正の最大数と正の最大数の場合でもキャリーが出る。
　・正の数値から正の数値を減算した場合、「表現できる範囲外」になるとキャリーは無い。
　・右端の０−７＝−７の様に、演算結果が表現できる負の最大数の場合でもキャリーは無い。


オーバーフローを検出条件

　以上の検討内容からオーバーフロー検出条件は得ることができます。
　・算術演算命令の場合、正の数値＋正の数値→負の数値なら「表現できる範囲外」。
　　　　　　　　　　又、負の数値−正の数値→正の数値なら「表現できる範囲外」。
　・演算命令の場合、正の数値＋正の数値→キャリー有りなら「表現できる範囲外」。
　　　　　　　　又、正の数値−正の数値→キャリー無しなら「表現できる範囲外」。


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